Системы счисления для ЕГЭ по информатике (Задание 14)

1. Основные понятия

Задание 14 ЕГЭ по информатике проверяет умение работать с системами счисления и выполнять арифметические операции с большими числами. Это задание часто требует использования длинной арифметики и работы с различными системами счисления (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.).

Типичные формулировки:

"Сколько единиц в двоичной записи числа ...?"
"Сколько нулей в двоичной записи числа ...?"
"Найдите значение выражения в указанной системе счисления"
"Переведите число из одной системы счисления в другую"

Важно: На экзамене ЕГЭ 2026 можно использовать Python для решения задач с большими числами, так как Python поддерживает длинную арифметику автоматически.

2. Системы счисления

2.1. Позиционные системы счисления

Определение: Система счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в числе.

Основание системы счисления (q): Количество различных цифр, используемых в системе.

Примеры:

Десятичная система (q=10): цифры 0-9
Двоичная система (q=2): цифры 0, 1
Восьмеричная система (q=8): цифры 0-7
Шестнадцатеричная система (q=16): цифры 0-9, A-F

2.2. Представление числа в позиционной системе

Число в системе счисления с основанием q записывается как:

$N = a_n \times q^n + a_{n-1} \times q^{n-1} + ... + a_1 \times q^1 + a_0 \times q^0$

где $a_i$ это цифры числа, $0 \leq a_i < q$.

Пример: Число 1011₂ в двоичной системе: $1011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$

2.3. Перевод чисел между системами счисления

Из любой системы в десятичную:

Использовать развёрнутую форму записи числа
Вычислить сумму произведений цифр на степени основания

Из десятичной в любую систему:

Последовательно делить число на основание новой системы
Записывать остатки от деления в обратном порядке

В Python:

# Перевод в десятичную
int("1011", 2)  # 11
int("FF", 16)   # 255

# Перевод из десятичной
bin(11)         # "0b1011"
oct(255)        # "0o377"
hex(255)        # "0xff"

2.4. Метод разложения по степеням для перевода в двоичную систему

Метод разложения по степеням это способ перевода числа из десятичной системы в двоичную путём представления числа в виде суммы степеней двойки.

Алгоритм:

Представить число в виде суммы степеней двойки
Выписать все степени двойки от максимальной до нулевой
На местах, где степень присутствует в разложении, поставить 1
На местах, где степени нет, поставить 0

Пример: Перевод числа 35 в двоичную систему

Шаг 1: Разложим 35 на сумму степеней двойки $35 = 32 + 2 + 1 = 2^5 + 2^1 + 2^0$

Шаг 2: Выпишем все степени двойки от 5 до 0: $2^5, 2^4, 2^3, 2^2, 2^1, 2^0$

Шаг 3: Определим, какие степени присутствуют:

$2^5$ (32) это есть → 1
$2^4$ (16) это нет → 0
$2^3$ (8) это нет → 0
$2^2$ (4) это нет → 0
$2^1$ (2) это есть → 1
$2^0$ (1) это есть → 1

Шаг 4: Запишем результат: 100011₂

Проверка: $100011_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35_{10}$

2.5. Метод разложения по степеням для перевода в троичную систему

Метод разложения по степеням для троичной системы это способ перевода числа из десятичной системы в троичную путём представления числа в виде суммы степеней тройки с коэффициентами 0, 1 или 2.

Алгоритм:

Представить число в виде суммы степеней тройки с коэффициентами (0, 1 или 2)
Выписать все степени тройки от максимальной до нулевой
На местах, где степень присутствует в разложении, поставить соответствующий коэффициент (0, 1 или 2)
Если степень отсутствует, поставить 0

Важно: В троичной системе каждая позиция может содержать цифры 0, 1 или 2, поэтому при разложении нужно учитывать, что одна и та же степень может использоваться с коэффициентом 1 или 2.

Пример: Перевод числа 35 в троичную систему

Шаг 1: Найдём максимальную степень тройки, не превышающую 35

$3^3 = 27$ (меньше 35)
$3^4 = 81$ (больше 35)

Максимальная степень: $3^3 = 27$

Шаг 2: Разложим 35 на сумму степеней тройки $35 = 27 + 8 = 3^3 + 8$

Теперь разложим 8: $8 = 2 \times 3 + 2 = 2 \times 3^1 + 2 \times 3^0$

Полное разложение: $35 = 1 \times 3^3 + 0 \times 3^2 + 2 \times 3^1 + 2 \times 3^0$

Шаг 3: Выпишем все степени тройки от 3 до 0: $3^3, 3^2, 3^1, 3^0$

Шаг 4: Определим коэффициенты:

$3^3$ (27) это коэффициент 1 → 1
$3^2$ (9) это коэффициент 0 → 0
$3^1$ (3) это коэффициент 2 → 2
$3^0$ (1) это коэффициент 2 → 2

Шаг 5: Запишем результат: 1022₃

Проверка: $1022_3 = 1 \times 3^3 + 0 \times 3^2 + 2 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 27 + 0 + 6 + 2 = 35_{10}$

3. Длинная арифметика

3.1. Понятие длинной арифметики

Длинная арифметика это выполнение арифметических операций с числами, которые превышают диапазон стандартных целочисленных типов данных.

В Python: Целые числа (int) имеют неограниченную точность, поэтому длинная арифметика работает автоматически.

Пример:

# Обычные языки: переполнение при больших числах
# Python: работает с любыми числами
x = 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64
print(x)  # Вычисляется корректно

3.2. Операции с большими числами

Сложение и вычитание:

Python автоматически обрабатывает большие числа
Результат может быть сколь угодно большим

Умножение:

Оператор ** для возведения в степень
Оператор * для умножения

Пример:

# Вычисление большого выражения
result = 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64

3.3. Работа с двоичным представлением

Функция bin():

Преобразует число в строку с двоичным представлением
Возвращает строку с префиксом "0b"

Пример:

bin(11)        # "0b1011"
bin(11)[2:]    # "1011" (убираем префикс)

Подсчёт символов:

.count("1") это количество единиц
.count("0") это количество нулей

Пример:

s = 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64
binary = bin(s)[2:]  # Двоичное представление без префикса
ones = binary.count("1")  # Количество единиц
zeros = binary.count("0")  # Количество нулей

4. Типы задач задания 14

4.1. Подсчёт единиц/нулей в двоичной записи

Формулировка: "Сколько единиц в двоичной записи числа 4096^210 - 1024^67 + 256^32 - 64?"

Алгоритм решения:

Вычислить значение выражения
Преобразовать в двоичную систему через bin()
Убрать префикс "0b" через [2:]
Подсчитать единицы через .count("1")

Код:

s = 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64
print(bin(s)[2:].count("1"))

4.2. Арифметические операции в различных системах счисления

Формулировка: "Найдите значение выражения в указанной системе счисления"

Особенности:

Могут быть операции сложения, вычитания, умножения
Числа могут быть в разных системах счисления
Нужно привести к одной системе или выполнить операции напрямую

4.3. Перевод между системами счисления

Формулировка: "Переведите число из системы счисления с основанием X в систему с основанием Y"

Алгоритм:

Перевести число в десятичную систему
Перевести из десятичной в целевую систему

5. Работа с функциями Python для систем счисления

5.1. Преобразование в строковое представление

Функция	Основание	Пример	Результат
`bin(n)`	2	`bin(11)`	`"0b1011"`
`oct(n)`	8	`oct(255)`	`"0o377"`
`hex(n)`	16	`hex(255)`	`"0xff"`

Важно: Все функции возвращают строку с префиксом (0b, 0o, 0x). Для получения чистой строки используйте [2:].

5.2. Преобразование из строкового представления

Функция	Основание	Пример	Результат
`int(s, 2)`	2	`int("1011", 2)`	`11`
`int(s, 8)`	8	`int("377", 8)`	`255`
`int(s, 16)`	16	`int("FF", 16)`	`255`

Важно: Второй аргумент функции int() указывает основание системы счисления.

5.3. Работа с подстроками

Методы строк для подсчёта:

.count(substring) это подсчитывает количество вхождений подстроки
[start:end] это срез строки

Пример:

binary = bin(11)[2:]  # "1011"
ones = binary.count("1")  # 3
zeros = binary.count("0")  # 1

6. Примеры решения задач

Пример 1: Подсчёт единиц в двоичной записи

Условие: Сколько единиц в двоичной записи числа 4096^210 - 1024^67 + 256^32 - 64?

Решение:

s = 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64
print(bin(s)[2:].count("1"))

Объяснение:

Вычисляем значение выражения: 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64
Преобразуем в двоичную систему: bin(s) → получаем строку с префиксом "0b"
Убираем префикс: [2:] → получаем чистую двоичную строку
Подсчитываем единицы: .count("1")

Ответ: 2100

Пример 2: Подсчёт нулей в двоичной записи

Условие: Сколько нулей в двоичной записи числа 2^100 - 2^50?

Решение:

s = 2**100 - 2**50
binary = bin(s)[2:]
zeros = binary.count("0")
print(zeros)

Пример 3: Работа с различными системами счисления

Условие: Найдите значение выражения (1011₂ + FF₁₆)₁₀ в десятичной системе.

Решение:

binary = int("1011", 2)  # 11
hex_num = int("FF", 16)  # 255
result = binary + hex_num
print(result)  # 266

7. Типичные ошибки и как их избежать

7.1. Ошибка: Забыли убрать префикс "0b"

Проблема: Использование bin(s).count("1") вместо bin(s)[2:].count("1")

Последствие: Префикс "0b" содержит одну единицу, что даёт неверный результат.

Решение: Всегда использовать [2:] для удаления префикса.

7.2. Ошибка: Неправильное основание при переводе

Проблема: Путают порядок аргументов в int() или используют неправильное основание.

Решение:

int("1011", 2) это правильно (строка, основание)
Проверять основание системы счисления в условии

7.3. Ошибка: Переполнение в других языках

Проблема: В языках типа C++/Java большие числа вызывают переполнение.

Решение: В Python этой проблемы нет, но нужно понимать, что Python автоматически использует длинную арифметику.

7.4. Ошибка: Неправильный подсчёт символов

Проблема: Путают .count("1") и .count("0") или считают все символы.

Решение:

Внимательно читать условие: "единиц" или "нулей"
Использовать правильный метод: .count("1") или .count("0")

8. Алгоритм решения задач задания 14

Шаг 1: Анализ условия

Определить, что нужно найти (единицы, нули, значение выражения)
Выписать выражение или числа
Определить системы счисления

Шаг 2: Выбор метода решения

Если большие числа → использовать Python с длинной арифметикой
Если перевод между системами → использовать int() и bin()/oct()/hex()
Если подсчёт символов → использовать .count()

Шаг 3: Написание кода

Вычислить значение выражения (если нужно)
Преобразовать в нужную систему счисления
Подсчитать требуемые символы

Шаг 4: Проверка результата

Проверить на простых примерах
Убедиться, что префиксы убраны
Проверить правильность подсчёта

9. Стратегия решения на экзамене

9.1. Время на задание 14

Рекомендуемое время: 5-8 минут

Распределение:

Чтение условия: 1 минута
Написание кода: 2-3 минуты
Запуск и проверка: 2-3 минуты
Проверка результата: 1 минута

9.2. Алгоритм действий

Внимательно прочитать условие:
- Что нужно найти (единицы, нули, значение)
- Какие системы счисления используются
- Какие операции нужно выполнить
Написать код:
- Вычислить выражение (если нужно)
- Преобразовать в нужную систему
- Подсчитать требуемые символы
Запустить и проверить:
- Проверить результат на простых примерах
- Убедиться в правильности подсчёта

9.3. Если не получается

Проверьте, убран ли префикс "0b" через [2:]
Убедитесь, что используете правильное основание в int()
Проверьте, правильно ли считаете единицы/нули
Попробуйте вывести промежуточные результаты для отладки

10. Полезные приёмы

10.1. Работа с большими степенями

Важно: Python автоматически обрабатывает большие числа, но вычисления могут занять время.

Оптимизация:

Для очень больших чисел можно использовать промежуточные вычисления
Проверять результат на меньших примерах

10.2. Проверка результата

Способ 1: Проверка на простом примере

# Проверка: число 11 в двоичной = 1011, единиц = 3
test = 11
print(bin(test)[2:].count("1"))  # Должно быть 3

Способ 2: Вывод промежуточных результатов

s = 4096**210 - 1024**67 + 256**32 - 64
binary = bin(s)[2:]
print(f"Длина двоичной записи: {len(binary)}")
print(f"Единиц: {binary.count('1')}")
print(f"Нулей: {binary.count('0')}")

11. Ссылки на материалы

Подборка заданий в Яндекс Учебнике: №14. Системы счисления

Удачи на экзамене! 🎓

№14 Системы счисления

Системы счисления для ЕГЭ по информатике (Задание 14)

1. Основные понятия

2. Системы счисления

2.1. Позиционные системы счисления

2.2. Представление числа в позиционной системе

2.3. Перевод чисел между системами счисления

2.4. Метод разложения по степеням для перевода в двоичную систему

2.5. Метод разложения по степеням для перевода в троичную систему

3. Длинная арифметика

3.1. Понятие длинной арифметики

3.2. Операции с большими числами

3.3. Работа с двоичным представлением

4. Типы задач задания 14

4.1. Подсчёт единиц/нулей в двоичной записи

4.2. Арифметические операции в различных системах счисления

4.3. Перевод между системами счисления

5. Работа с функциями Python для систем счисления

5.1. Преобразование в строковое представление

5.2. Преобразование из строкового представления

5.3. Работа с подстроками

6. Примеры решения задач

Пример 1: Подсчёт единиц в двоичной записи

Пример 2: Подсчёт нулей в двоичной записи

Пример 3: Работа с различными системами счисления

7. Типичные ошибки и как их избежать

7.1. Ошибка: Забыли убрать префикс "0b"

7.2. Ошибка: Неправильное основание при переводе

7.3. Ошибка: Переполнение в других языках

7.4. Ошибка: Неправильный подсчёт символов

8. Алгоритм решения задач задания 14

Шаг 1: Анализ условия

Шаг 2: Выбор метода решения

Шаг 3: Написание кода

Шаг 4: Проверка результата

9. Стратегия решения на экзамене

9.1. Время на задание 14

9.2. Алгоритм действий

9.3. Если не получается

10. Полезные приёмы

10.1. Работа с большими степенями

10.2. Проверка результата

11. Ссылки на материалы