Кодирование информации для ЕГЭ по информатике (Задание 7)

1. Основные понятия

Задание 7 ЕГЭ по информатике проверяет умение определять объём памяти, необходимый для хранения графической и звуковой информации. Это базовая задача, требующая знания формул и умения работать с единицами измерения информации.

Задания: N7.Кодирование.Фано

2. Кодирование графической информации

2.1. Формула объёма графического файла

Для расчёта объёма информации, необходимого для хранения изображения, используется формула:

$I = K \times i$

где:

• I: объём информации изображения (в битах);
• K: общее количество пикселей в изображении (зависит от ширины и высоты изображения);
• i: глубина цвета (количество бит, выделяемых на один пиксель).

Пример: Изображение размером 1024×768 пикселей с глубиной цвета 24 бита: $K = 1024 \times 768 = 786432 \text{ пикселей}$ $I = 786432 \times 24 = 18874368 \text{ бит} = 2359296 \text{ байт} \approx 2,25 \text{ МБ}$

2.2. Формула количества цветов

Для определения количества цветов, которое может быть закодировано с заданной глубиной цвета, используется формула:

$N = 2^i$

где:

• N: количество возможных цветов;
• i: глубина цвета в битах.

Примеры:$i = 8 \text{ бит} \to N = 2^8 = 256 \text{ цветов}$$i = 16 \text{ бит} \to N = 2^{16} = 65536 \text{ цветов}$$i = 24 \text{ бит} \to N = 2^{24} = 16777216 \text{ цветов}$ Важно: Если в задаче дано количество цветов N, нужно найти минимальное i такое, что $2^i \geq N$.

Пример: Палитра содержит 4096 цветов. Находим i: $2^{12} = 4096 \to i = 12 \text{ бит}$

Пример: Палитра содержит 7026 цветов. Находим i: $2^{12} = 4096 < 7026$ $2^{13} = 8192 \geq 7026 \to i = 13 \text{ бит}$

3. Кодирование звуковой информации

3.1. Формула объёма звукового файла

Для вычисления объёма звукового файла используется формула:

$I = v \times i \times k \times t$

где:

• I: объём информации звукового файла (в битах);
• v: частота дискретизации (количество отсчётов в секунду, измеряется в Герцах);
• i: глубина кодирования (количество бит на каждый отсчёт);
• k: количество каналов записи (1 для моно, 2 для стерео, 4 для квадро);
• t: длительность записи (в секундах).

Пример: Стерео запись (k=2) с частотой 44,1 кГц (v=44100 Гц), глубиной 16 бит (i=16), длительностью 3 минуты (t=180 с): $I = 44100 \times 16 \times 2 \times 180 = 254016000 \text{ бит} \approx 30,3 \text{ МБ}$

Важно: Чем выше частота дискретизации, глубина кодирования и количество каналов, тем качественнее, но объёмнее будет звуковой файл.

3.2. Типы звукозаписи

4. Передача данных по сети

4.1. Формула передачи данных

При расчёте времени передачи данных по сети используется формула:

$V = q \times t$

где:

• V: объём информации, передаваемой через сеть (в битах);
• q: скорость передачи данных (в битах в секунду);
• t: время передачи (в секундах).

Из этой формулы можно найти: Время передачи: $t = \frac{V}{q}$ Скорость передачи: $q = \frac{V}{t}$ Объём данных: $V = q \times t$

Пример: Файл размером 50 МБ передаётся со скоростью 10 Мбит/с: $V = 50 \times 1024 \times 1024 \times 8 = 419430400 \text{ бит}$ $q = 10 \times 1000000 = 10000000 \text{ бит/с}$ $t = \frac{419430400}{10000000} = 41,94 \text{ секунд}$

5. Архивация данных

Архивация служит для уменьшения объёма файла с целью его последующей передачи или хранения.

Важно: При решении задач на архивацию нужно учитывать:

• Объём исходного файла
• Объём сжатого файла
• Процент сжатия
• Время на архивацию и разархивацию (если требуется)

Формулы:

• Если сжатый файл составляет p% от исходного: $I_{\text{сжатый}} = I_{\text{исходный}} \times \frac{p}{100}$
• Если сжатый файл меньше исходного на p%: $I_{\text{сжатый}} = I_{\text{исходный}} \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)$
• Если исходный файл больше сжатого на p%: $I_{\text{исходный}} = I_{\text{сжатый}} \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Пример: Файл после сжатия стал на 35% меньше исходного: $I_{\text{сжатый}} = I_{\text{исходный}} \times 0,65$ $I_{\text{исходный}} = \frac{I_{\text{сжатый}}}{0,65}$

6. Единицы измерения объёма данных

Важно:

• 1 КБ = 1024 байт (не 1000!)
• 1 МБ = 1024 КБ = 1048576 байт
• При переводе в биты: умножаем на 8

7. Степени двойки

Для быстрого и эффективного решения задач важно хорошо знать степени двойки:

• $2^{10} = 1024$ (1 КБ в байтах)
• $2^{20} = 1048576$ (1 МБ в байтах)
• $2^{24} = 16777216$ (24-битная глубина цвета)

8. Разбор типичных задач

Задача 1: Определение максимального количества снимков в пакете

Условие (ЕГЭ 2025, демоверсия ФИПИ):

Прибор автоматической фиксации нарушений правил дорожного движения делает цветные фотографии размером 1024×768 пикселей, используя палитру из 4096 цветов. Снимки сохраняются в памяти камеры, группируются в пакеты по несколько штук, а затем передаются в центр обработки информации со скоростью передачи данных 1 310 720 бит/с. Каково максимальное возможное количество снимков в одном пакете, если на передачу одного пакета отводится не более 300 секунд?

Решение:

1. Выписываем условия:

   • Размер фотографии: 1024 × 768 пикселей
   • Палитра: N = 4096 цветов
   • Скорость передачи: q = 1310720 бит/с
   • Максимальное время передачи: t ≤ 300 с

2. Находим глубину цвета: $N = 4096 = 2^{12} \to i = 12 \text{ бит}$

3. Находим количество пикселей: $K = 1024 \times 768 = 786432 \text{ пикселей}$

4. Находим объём одной фотографии: $I_{\text{фото}} = K \times i = 786432 \times 12 = 9437184 \text{ бит}$

5. Обозначаем количество снимков за X: $I_{\text{пакет}} = I_{\text{фото}} \times X = 9437184 \times X \text{ бит}$

6. Составляем неравенство для времени передачи: $t = \frac{I_{\text{пакет}}}{q} = \frac{9437184 \times X}{1310720} \leq 300$ $\frac{9437184 \times X}{1310720} \leq 300$ $7,2X \leq 300$ $X \leq 41,67$

7. Ответ: Так как количество снимков должно быть целым числом, максимальное значение X = 41.

Задача 2: Определение времени передачи пакета

Условие (Досрочная волна 2024):

Прибор автоматической фиксации нарушений правил дорожного движения делает цветные фотографии размером 2764×1793 пикселей, используя палитру из 7026 цветов. Снимки сохраняются в памяти камеры, группируются в пакеты по 148 штук, затем передаются в центр обработки информации со скоростью передачи данных 18 349 566 бит/с. Сколько секунд требуется для передачи одного полного пакета фотографий? В ответе запишите только целую часть полученного числа.

Решение:

1. Выписываем условия:

   • Размер фотографии: 2764 × 1793 пикселей
   • Палитра: N = 7026 цветов
   • Количество фотографий в пакете: 148
   • Скорость передачи: q = 18349566 бит/с

2. Находим глубину цвета: $2^{12} = 4096 < 7026$ $2^{13} = 8192 \geq 7026 \to i = 13 \text{ бит}$

3. Находим количество пикселей: $K = 2764 \times 1793 = 4952452 \text{ пикселей}$

4. Находим объём одной фотографии: $I_{\text{фото}} = K \times i = 4952452 \times 13 = 64381876 \text{ бит}$

5. Находим объём пакета: $I_{\text{пакет}} = I_{\text{фото}} \times 148 = 64381876 \times 148 = 9528533848 \text{ бит}$

6. Находим время передачи: $t = \frac{I_{\text{пакет}}}{q} = \frac{9528533848}{18349566} = 519,278... \text{ секунд}$

7. Ответ: Целая часть = 519 секунд.

Задача 3: Кодирование звука - определение времени передачи

Условие (Досрочная волна 2023):

Пользователь записал голосовое сообщение. Сообщение представляет собой стерео аудиофайл со следующими параметрами: глубина кодирования - 24 бит, частота дискретизации 16000 отсчётов в секунду, время записи - 90 с. Данное сообщение было отправлено по Сети со скоростью 64 000 бит/с. Сколько секунд будет передаваться голосовое сообщение?

Решение:

1. Выписываем условия:

   • Глубина кодирования: i = 24 бит
   • Частота дискретизации: v = 16000 Гц
   • Время записи: t = 90 с
   • Количество каналов: k = 2 (стерео)
   • Скорость передачи: q = 64000 бит/с

2. Находим объём звукового файла: $I = v \times i \times k \times t = 16000 \times 24 \times 2 \times 90 = 69120000 \text{ бит}$

3. Находим время передачи: $t_{\text{передачи}} = \frac{I}{q} = \frac{69120000}{64000} = 1080 \text{ секунд}$

4. Ответ: 1080 секунд.

Задача 4: Кодирование звука - определение длительности записи

Условие (Основная волна(II) 2023):

Производилась четырёхканальная (квадро) звукозапись с частотой дискретизации 192 кГц и 16-битным разрешением. В результате был получен файл размером 967 Мбайт, без учёта размера заголовка и без сжатия данных. Определите длительность звукозаписи (в минутах). В качестве ответа укажите ближайшее к полученному времени записи целое число.

Решение:

1. Выписываем условия:

   • Частота дискретизации: v = 192 кГц = 192000 Гц
   • Глубина кодирования: i = 16 бит
   • Количество каналов: k = 4 (квадро)
   • Размер файла: I = 967 Мбайт = 967 × 1024 × 1024 × 8 = 8100245504 бит

2. Находим длительность записи: $I = v \times i \times k \times t$ $t = \frac{I}{v \times i \times k} = \frac{8100245504}{192000 \times 16 \times 4} = \frac{8100245504}{12288000} = 659,4 \text{ секунд}$

3. Переводим в минуты: $t = \frac{659,4}{60} = 10,99 \text{ минут} \approx 11 \text{ минут}$

4. Ответ: 11 минут.

Задача 5: Архивация - определение количества цветов

Условие (Основная волна 2022):

Для хранения сжатого произвольного растрового изображения размером 640×256 пикселей отведено 170 Кбайт памяти без учёта размера заголовка файла. Файл оригинального изображения больше сжатого на 35%. Для кодирования цвета каждого пикселя используется одинаковое количество бит, коды пикселей записываются в файл один за другим без промежутков. Какое максимальное количество цветов можно использовать в изображении?

Решение:

1. Выписываем условия:

   • Размер изображения: 640 × 256 пикселей
   • Объём сжатого изображения: 170 Кбайт = 170 × 1024 × 8 = 1392640 бит
   • Файл оригинального изображения больше сжатого на 35%

2. Находим объём исходного изображения: Если сжатый файл составляет 65% от исходного (100% - 35% = 65%): $I_{\text{исходный}} = \frac{I_{\text{сжатый}}}{0,65} = \frac{1392640}{0,65} = 2142523 \text{ бит}$

3. Находим количество пикселей: $K = 640 \times 256 = 163840 \text{ пикселей}$

4. Находим глубину цвета: $i = \frac{I_{\text{исходный}}}{K} = \frac{2142523}{163840} = 13,08 \text{ бит}$

   Округляем вниз: i = 13 бит

5. Находим максимальное количество цветов: $N = 2^i = 2^{13} = 8192$

6. Ответ: 8192 цвета.

Задача 6: Архивация - обратная задача

Условие (Досрочная волна 2022):

Для хранения произвольного сжатого растрового изображения размером 486×720 пикселей отведено 80 Кбайт памяти без учёта размера заголовка файла. Для кодирования цвета каждого пикселя используется одинаковое количество бит, коды пикселей записываются в файл один за другим без промежутков. После сохранения информации о пикселях изображение сжимается. Размер итогового файла после сжатия на 15% меньше исходного. Какое максимальное количество цветов можно использовать в изображении?

Решение:

1. Выписываем условия:

   • Размер изображения: 486 × 720 пикселей
   • Объём сжатого изображения: 80 Кбайт = 80 × 1024 × 8 = 655360 бит
   • После сжатия размер стал на 15% меньше исходного (сжатый = 85% от исходного)

2. Находим объём исходного изображения: $I_{\text{исходный}} = \frac{I_{\text{сжатый}}}{0,85} = \frac{655360}{0,85} = 771011,76 \text{ бит}$

3. Находим количество пикселей: $K = 486 \times 720 = 349920 \text{ пикселей}$

4. Находим глубину цвета: $i = \frac{I_{\text{исходный}}}{K} = \frac{771011,76}{349920} = 2,2 \text{ бит}$

   Округляем вниз: i = 2 бита

5. Находим максимальное количество цветов: $N = 2^i = 2^2 = 4$

6. Ответ: 4 цвета.

9. Алгоритм решения задач задания 7

Шаг 1: Анализ условия

• Определить тип задачи (графика, звук, передача данных, архивация)
• Выписать все данные из условия
• Определить, что требуется найти

Шаг 2: Выбор формулы

• Графика: $I = K \times i$, $N = 2^i$
• Звук: $I = v \times i \times k \times t$
• Передача данных: $V = q \times t$
• Архивация: использовать проценты для связи исходного и сжатого файлов

Шаг 3: Приведение единиц измерения

• Перевести все данные в одинаковые единицы (обычно биты)
• Помнить: 1 КБ = 1024 байт, 1 МБ = 1024 КБ
• При переводе в биты умножать на 8

Шаг 4: Вычисление промежуточных значений

• Найти глубину цвета (если дано количество цветов)
• Найти количество пикселей (если даны размеры)
• Найти объём файла

Шаг 5: Решение основной задачи

• Подставить значения в формулу
• Выполнить вычисления
• Проверить единицы измерения

Шаг 6: Проверка ответа

• Убедиться, что ответ логичен
• Проверить, что все условия учтены
• Округлить до требуемой точности

10. Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Неправильный перевод единиц измерения

Проблема: Путают 1024 и 1000, забывают умножить на 8 при переводе в биты.

Как избежать:

• Запомнить: 1 КБ = 1024 байт (не 1000!)
• При переводе байт в биты всегда умножать на 8
• Составлять таблицу перевода единиц

Ошибка 2: Неправильное определение глубины цвета

Проблема: Берут меньшее значение степени двойки, когда нужно большее.

Как избежать:

• Если N = 7026, то $2^{12} = 4096 < 7026$, нужно $2^{13} = 8192$
• Всегда проверять: $2^i \geq N$

Ошибка 3: Забывают про количество каналов в звуке

Проблема: Не учитывают k (количество каналов) в формуле звука.

Как избежать:

• Моно = 1 канал, Стерео = 2 канала, Квадро = 4 канала
• Всегда проверять формулу: $I = v \times i \times k \times t$

Ошибка 4: Неправильная работа с процентами при архивации

Проблема: Путают, что больше: исходный или сжатый файл.

Как избежать:

• Если сжатый на 35% меньше исходного → сжатый = 65% от исходного
• Если исходный на 35% больше сжатого → исходный = 135% от сжатого
• Рисовать схему: исходный → сжатый

Ошибка 5: Неправильное округление глубины цвета

Проблема: Округляют вверх вместо вниз при определении i из объёма.

Как избежать:

• При определении i из формулы $i = \frac{I}{K}$ округлять вниз
• Проверять: $K \times i \leq I$ (не должно превышать)

11. Практические рекомендации

Для быстрого решения:

1. Запомните основные формулы: Графика: $I = K \times i$, $N = 2^i$ Звук: $I = v \times i \times k \times t$ Передача: $V = q \times t$

2. Знайте степени двойки до 15-й степени наизусть

3. Внимательно читайте условие: часто ключевая информация в конце

4. Проверяйте единицы измерения: все вычисления в битах, затем переводите

Для сложных задач:

1. Выписывайте все данные в таблицу
2. Определяйте тип задачи в начале
3. Используйте аналитический подход - пошаговое решение
4. Проверяйте логичность ответа

12. Типичные формулировки в ЕГЭ

Составлено: Лилия С.
Источники: КИМ ЕГЭ 2026, открытый банк ФИПИ, спецификация ЕГЭ по информатике, яндекс учебник

Удачи на экзамене! 🎓